Question

8．如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．
（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH．
（Ⅱ）若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：BCD⊥EGH．

Answer 1

分析 （I）證法一：如圖所示，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF=M，連接MH．由已知可得四邊形CFDG是平行四邊形，DM=MC．利用三角形的中位線定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；
證法二：在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，H為BC的中點．可得四邊形BHFE為平行四邊形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可證明BD∥平面FGH．
（II）連接HE，利用三角形中位線定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可證明EFCH是平行四邊形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可證明平面BCD⊥平面EGH．

解答 （I）證法一：如圖所示，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF=M，連接MH．
在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，G為AC的中點．
∴DF平行且等于GC，∴四邊形CFDG是平行四邊形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
證法二：在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，H為BC的中點．
∴BH平行且等于EF，
∴四邊形BHFE為平行四邊形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD?平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）證明：連接HE，∵G，H分別為AC，BC的中點，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H為BC的中點，∴EF∥HC，EF=HC．
∴EFCH是平行四邊形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH?平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．

點評 本題考查了空間線面面面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題．