Question

如圖，正三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩條垂直，且長度為2．E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，H是EF的中點，過EF的一個平面與側(cè)棱OA，OB，OC或其延長線分別相交于A₁，B₁，C₁，已知
（Ⅰ）證明：B₁C₁⊥平面OAH；
（Ⅱ）求三棱錐O-A₁B₁C₁體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，
又∵EF?平面OBC，BC?平面0BC，∴EF∥平面0BC，…（2分）
又∵EF?面A₁B₁C₁，面A₁B₁C₁∩面OBC=B₁C_l，
∴EF∥B₁C₁…（4分）
又∵H是EF的中點，AH⊥EF，∴AH⊥B₁C₁．…（5分）
∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC，
∵B₁C_l?平面OBC，∴OA⊥B₁C₁，
又∵OA∩AH=A，OA、AH?平面OAH
∴B₁C₁⊥平面OAH．…（8分）
（Ⅱ）過點E作EM⊥OB₁于M，則
∵△AOB中，OA⊥OB，EM⊥OB
∴EM∥OA，且M是OB的中點．
可得EM=OM=1．設(shè)OB₁=x，則MB₁=x-1，
由，得．
解得x=3．即OB₁=OC₁=3．…（11分）
從而三棱錐O-A₁B₁C₁體積為
．…（14分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)三角形的中位線定理，得EF∥BC，從而EF∥平面0BC，結(jié)合線面平行性質(zhì)定理，得EF∥B₁C₁．△A₁B₁C₁中，證出AH⊥B₁C₁，結(jié)合OA⊥B₁C₁，可證出B₁C₁⊥平面OAH；
（II）過點E作EM⊥OB₁于M，在△AOB中，可得EM∥OA且M是OB的中點．利用平行線分線段成比例，得，解出OB₁=OC₁=3，最后用三棱錐體積公式并結(jié)合等體積轉(zhuǎn)換，可算出三棱錐O-A₁B₁C₁體積．
點評：本題在特殊三棱錐中，證明線面垂直并求錐體體積，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和體積計算等知識，屬于中檔題．