Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，當時，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，進而求解函數(shù)的極值；

（Ⅱ）由，由，得或，分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）由（1）和（2），分當和，分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出相應(yīng)的結(jié)論，進而得到結(jié)論.

解：（Ⅰ）當時：，令解得，

又因為當，，函數(shù)為減函數(shù)；

當，，函數(shù)為增函數(shù).

所以，的極小值為.

（Ⅱ）.當時，由，得或.

(ⅰ)若，則.故在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）若，則.故當時，；

當時，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

(ⅲ)若，則.故當時，；

當時，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（Ⅲ）（1）當時，，令，得.

因為當時，，當時，，

所以此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

（2）當時：

（ⅰ）當時，由（Ⅱ）可知在上單調(diào)遞增，且，，此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

（ⅱ）當時，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，又，

只需討論的符號：

當時，，在區(qū)間上有且只有一個零點；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上無零點.

(ⅲ)當時，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，，，此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

綜上所述，.