Question

拋物線y²=2px（p＞0）上有A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）三點(diǎn)，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則（　　）

A．x₁，x₂，x₃成等差數(shù)列

B．x₁，x₃，x₂成等差數(shù)列

C．y₁，y₂，y₃成等差數(shù)列

D．y₁，y₃，y₂成等差數(shù)列

Answer 1

分析：利用拋物線的定義，將A、B、C三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它們到準(zhǔn)線的距離即可．

解答：解：∵拋物線y²=2px（p＞0），
∴其準(zhǔn)線方程為：x=-

p

2

，
設(shè)點(diǎn)A，B，C在直線x=-

p

2

上的射影分別為M，N，Q，
由拋物線的定義得：|AF|=|AM|=x₁+1，|BF|=|BN|=x₂+1，|CF|=|CQ|=x₃+1，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴2（x₂+1）=x₁+1+x₃+1，
∴2x₂=x₁+x₃，
∴x₁，x₂，x₃成等差數(shù)列，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，A、B、C三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它們到準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．