Question

16．雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的漸近線與圓（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，則r=（　　）

• A． $\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$
• B． $\frac{{6\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{6\sqrt{11}}}{11}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出漸近線方程，再求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)此距離和圓的半徑相等，求出r．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x，即x±$\frac{3}{2}$y=0，
圓心（3，0）到直線的距離d=$\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的漸近線與圓（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，
∴r=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式．解答的關(guān)鍵是利用圓心到切線的距離等于半徑來判斷直線與圓的位置關(guān)系．