Question

4．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC．
（Ⅰ）求$\frac{c}$的值；
（Ⅱ）若b+c=$\sqrt{2}$+1，a=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC，利用正弦定理可得$\sqrt{2}$sinC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，再利用正弦定理即可得出．
（II）由b+c=$\sqrt{2}$+1，$\frac{c}$=$\sqrt{2}$．解得b，c．利用勾股定理的逆定理可得A為直角．即可得出面積．

解答 解：（I）∵$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC，∴$\sqrt{2}$sinC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，∴$\sqrt{2}$c=b．
∴$\frac{c}$=$\sqrt{2}$．
（II）由b+c=$\sqrt{2}$+1，$\frac{c}$=$\sqrt{2}$．解得b=$\sqrt{2}$，c=1．
a=$\sqrt{3}$，∴b²+c²=a²．∴A=$\frac{π}{2}$
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、勾股定理的逆定理、三角函數(shù)求值、三角形面積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．