Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

1

2|x|

．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)x≤0時(shí)得到f（x）=0而f（x）=2，所以無(wú)解；當(dāng)x＞0時(shí)解出f（x）=2求出x即可；
（II）由 t∈[1，2]時(shí)，3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=2t-

1

2t

，代入得到m的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x≤0時(shí)f（x）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=2x-

1

2x

，
有條件可得，2x-

1

2x

=2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2x=1±

2

，∵2^x＞0，∴2x=1+

2

，∴x=log2(1+

2

)．
（Ⅱ）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范圍是[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問(wèn)題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化才能使恒成立問(wèn)題等到簡(jiǎn)化；轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，同時(shí)轉(zhuǎn)化過(guò)程更提出了等價(jià)的意識(shí)和要求．