Question

7．已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，若不等式f（x）＜0的解集為（-2，1）且f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式$f（{cosθ}）≤\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）+msinθ$對(duì)θ∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，得到關(guān)于a，b，c的方程，解出即可求出函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求出f（cosθ），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為sin²θ+（1+m）sinθ+1≥0對(duì)θ∈R恒成立，令g（θ）=sin²θ+（1+m）sinθ+1，通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的位置，從而求出g（θ）的最小值，得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵不等式f（x）＜0的解集為（-2，1）且f（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a-2b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+x-2；
（2）由（1）得：f（cosθ）=cos²θ+cosθ-2，
∴由不等式$f（{cosθ}）≤\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）+msinθ$對(duì)θ∈R恒成立，
得：cos²θ+cosθ-2≤$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ對(duì)θ∈R恒成立，
∴sin²θ+（1+m）sinθ+1≥0對(duì)θ∈R恒成立，
令g（θ）=sin²θ+（1+m）sinθ+1=${（sinθ+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$，
∵-1≤sinθ≤1，
∴①-1≤$\frac{m+1}{2}$≤1即-3≤m≤1時(shí)：
g_min（θ）=1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$≥0，
解得：-3≤m≤1，符合題意；
②$\frac{m+1}{2}$＜-1即m＜-3時(shí)：
g_min（θ）=${（1+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，
解得：m＞-3，無(wú)解；
③$\frac{m+1}{2}$＞1即m＞1時(shí)：
g_min（θ）=${（-1+\frac{m+1}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，
解得：m＜1，無(wú)解；
綜上，滿(mǎn)足條件的m的范圍是[-3，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，考察三角函數(shù)的最值，其中構(gòu)造函數(shù)g（θ）=sos²θ+（1+m）sinθ+1，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．