Question

已知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：整除的基本性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：利用二項(xiàng)式定理展開，并對(duì)n討論即可得出．

解答： 解：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a=12ⁿ+5n-a=（10+2）ⁿ+5n-a=10ⁿ+

∁

1 n

10n-1×2+…+

∁

n-2 n

10²×2^n-2+

∁

n-1 n

×10×2n-1+2ⁿ+5n-a
=25M+5n（2ⁿ+1）-a，（M為整數(shù)）．
當(dāng)n=1時(shí)，2³×3¹+5-a=29-a，此時(shí)a=29-25k（k∈Z），k=1時(shí)，a=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，若2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，則5n（2ⁿ+1）-a必須能夠被25整除．
設(shè)5n（2ⁿ+1）-a=25k，則a=5n（2ⁿ+1）-25k．當(dāng)n=2時(shí)，a=25×2-25k，k=1時(shí)，a=25．
綜上可得：正整數(shù)a的最小值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、整除的理論、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．