Question

在（2+）¹⁰⁰展開式中，求共有多少個有理數(shù)的項？

Answer 1

解：根據題意，（2+）¹⁰⁰的二項展開式為T_r+1=C₁₀₀^r•2^100-r•（）^r=C₁₀₀^r•2^100-r•，r=0，1，2，3，…100
若展開式為有理數(shù)，即為有理數(shù)，
則r為4的倍數(shù)，r=0，4，8，12，…100．
100=0+（n-1）×4，
可得n=26，有26個符合條件，
共有26個有理數(shù)的項．
分析：根據題意，可得的二項展開式，若x的系數(shù)為有理數(shù)，即（）^100-r•（）^r為有理數(shù)，則100-r為2的倍數(shù)，r為3的倍數(shù)，設r=3n，則100-3n為2的整數(shù)倍，分析可得答案．
點評：本題考查二項式定理的應用，注意整數(shù)的整除的有關性質，仔細進行分析．