Question

3．已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．那么，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=（x-2）²；若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求出在一個(gè)周期[-1，1]內(nèi)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）與直線y=x+a的圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)恰好有2個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：∵函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，0≤-x≤1
∴f（-x）=（-x）²
又∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=x²
∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x²
又∵函數(shù)f（x）的周期為2，
∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，當(dāng)-1≤x-2≤0，
即f（x）=f（x-2）=（x-2）²；
作出函數(shù)f（x）與y=x+a的圖象如圖：

∴直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩種情況
①當(dāng)直線過(guò)（0，0）和點(diǎn)（1，1）時(shí)，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)交點(diǎn)
∴a=0
由周期性的a=2k（k∈Z）
②當(dāng)直線與曲線相切時(shí)：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+a}\end{array}\right.$
∴x²-x-a=0
由題意知△=1+4a=0
∴$a=\;-\frac{1}{4}$
由周期性知$a=2k-\frac{1}{4}$（k∈Z）
∴a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$，
故答案為：（x-2）²；  a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．