Question

3．已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²．那么，當1≤x≤2時，f（x）=（x-2）²；若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，則實數a的值是a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性先求出在一個周期[-1，1]內的表達式，作出函數f（x）與直線y=x+a的圖象，根據兩個函數恰好有2個不同的交點，利用數形結合建立不等式關系進行求解．

解答 解：∵函數是偶函數，且當0≤x≤1時，f（x）=x²
∴當-1≤x≤0時，0≤-x≤1
∴f（-x）=（-x）²
又∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）
∴當-1≤x≤0時，f（x）=x²
∴當-1≤x≤1時，f（x）=x²
又∵函數f（x）的周期為2，
∴當1≤x≤2時，當-1≤x-2≤0，
即f（x）=f（x-2）=（x-2）²；
作出函數f（x）與y=x+a的圖象如圖：

∴直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個交點，有兩種情況
①當直線過（0，0）和點（1，1）時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個交點
∴a=0
由周期性的a=2k（k∈Z）
②當直線與曲線相切時：當0≤x≤1時，f（x）=x²
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+a}\end{array}\right.$
∴x²-x-a=0
由題意知△=1+4a=0
∴$a=\;-\frac{1}{4}$
由周期性知$a=2k-\frac{1}{4}$（k∈Z）
∴a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$，
故答案為：（x-2）²；  a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

點評 本題主要考查根的個數的應用，考查了函數的周期性、奇偶性、根的存在性及根的個數判斷，利用數形結合是解決本題的關鍵．體現了數形結合思想的應用．