Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜0\\{e^x}-1，x≥0\end{array}$，若函數(shù)y=f（x）-kx有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [1，2）

Answer 1

分析 由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=kx，得-x²+$\frac{1}{2}$x=kx，解得x=$\frac{1}{2}$-k，由x=$\frac{1}{2}$-k＜0，可得：k＞$\frac{1}{2}$；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1，由f'（x）∈（1，+∞），進(jìn)而可得k＞1；綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜0\\{e^x}-1，x≥0\end{array}$，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=kx，
得-x²+$\frac{1}{2}$x=kx，
即-x+$\frac{1}{2}$=k，解得x=$\frac{1}{2}$-k，
由x=$\frac{1}{2}$-k＜0，解得k＞$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，
則k＞1，
∴k＞1，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．