Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）在（0，+∞）上遞增．
（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），方程f（x）-mx+2m-1=0有兩相異的正實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）在（0，+∞）上遞增，
所以冪指數(shù)是負數(shù)，
∴（2-k）（1+k）＜0，∴-1＜k＜2，又k∈Z，
∴k=0或k=1，
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=x²，
（2）據(jù)題意，f（x）-mx+2m-1=0即x²-mx+2m-1=0，
即x²-1=m（x-2），
分別畫出函數(shù)y=x²-1和y=m（x-2），
由圖可知，當＜m＜4-2時，
函數(shù)y=x²-1和y=m（x-2）的圖象在x右側(cè)有兩個不同的交點．
故實數(shù)m的取值范圍為：＜m＜4-2．
分析：（1）通過冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上遞增，推出指數(shù)是負數(shù)，再根據(jù)k∈Z，然后求出m的值即可．
（2）先f（x）-mx+2m-1=0，即x²-1=m（x-2），分別畫出函數(shù)y=x²-1和y=m（x-2），根據(jù)圖象可直接得出答案．
點評：本題考查冪函數(shù)的基本性質(zhì)，冪函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．