Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+

m+n

2

x的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，點(diǎn)P（m，n）表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)（x₀，y₀）滿足y₀=log_a（x₀+4），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）∪（1，3）
• B、（0，1）∪（1，3）
• C、（

  1

  2

  ，1）∪（1，3]
• D、（0，1）∪[3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，可得方程x²+mx+

m+n

2

=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域?yàn)镈，進(jìn)而利用函數(shù)y=log_a（x+4）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

mx²+

m+n

2

x的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，
∴f′（x）=x²+mx+

m+n

2

=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，為平面區(qū)域D，
∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
∴要使函數(shù)y=log_a（x+4）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴l(xiāng)og_a3＞1，解得1＜a＜3或0＜a＜1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線性規(guī)劃、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．