【題目】設(shè)aR,函數(shù)f(x)=x|x-a|-a.

(1) f(x)為奇函數(shù),求a的值;

(2) 若對任意的x[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍;

(3) 當(dāng)a>4時,求函數(shù)y=f(f(x)+a)零點的個數(shù).

【答案】(1)0(2)(3)見解析

【解析】

解:(1) f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).令x=0,得f(0)=-f(0),

f(0)=0,所以a=0,此時f(x)=x|x|為奇函數(shù).

(2) 因為對任意的x[2,3],f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0.

當(dāng)a≤0時,對任意的x[2,3],f(x)=x-a≥0恒成立,所以a≤0;

當(dāng)a>0時,易得f(x)=上是單調(diào)增函數(shù),在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù),

當(dāng)0<a<2時,f(x)min=f(2)=2(2-a)-a≥0,解得a≤,所以a≤;

當(dāng)2≤a≤3時,f(x)min=f(a)=-a≥0,解得a≤0,所以a不存在;

當(dāng)a>3時,f(x)min=min=min≥0,解得a≥

所以a≥.

綜上,得a≤a≥.

(3) 設(shè)y=f(f(x)+a),令t=f(x)+a=x,則y=f(t)=t-a,a>4,

第一步,令f(t)=0t=a,

所以,當(dāng)t<a時,t2-at+a=0,

判別式Δ=a(a-4)>0,

解得t1,t2;

當(dāng)t≥a時,由f(t)=0,得t(t-a)=a,

解得t3;

第二步,易得0<t1<<t2<a<t3,且a<,

x=t1,其中0<t1<,

當(dāng)x<a時,x2-ax+t1=0,記p(x)=x2-ax+t1,因為對稱軸x=<a,

p(a)=t1>0,且Δ1=a2-4t1>0,所以方程t2-at+t1=02個不同的實根;

當(dāng)x≥a時,x2-ax-t1=0,記q(x)=x2-ax-t1,因為對稱軸x=<a,

q(a)=-t1<0,且Δ2=a2+4t1>0,所以方程x2-ax-t1=01個實根,

從而方程x=t13個不同的實根;

x=t2,其中0<t2<,由①知,方程x=t23個不同的實根;

x=t3,

當(dāng)x>a時,x2-ax-t3=0,記r(x)=x2-ax-t3,因為對稱軸x=<a,

r(a)=-t3<0,且Δ3=a2+4t3>0,所以方程x2-ax-t3=01個實根;

當(dāng)x≤a時,x2-ax+t3=0,記s(x)=x2-ax-t3,因為對稱軸x=<a,

s(a)=t3>0,且Δ3=a2-4t3,a2-4t3>0a3-4a2-16<0,

m(a)=a3-4a2-16,則m′(a)=a(3a-8)>0,

m(a)(4,+∞)上的增函數(shù),且m(4)=-16<0,m(5)=9>0,

所以m(a)=0有唯一解,不妨記為a0,且a0(4,5).

4<a<a0,即Δ3<0,方程x2-ax+t3=00個實根;

a=a0,即Δ3=0,方程x2-ax+t3=01個實根;

a>a0,即Δ3>0,方程x2-ax+t3=02個實根.

所以,當(dāng)4<a<a0時,方程x=t31個實根;

當(dāng)a=a0時,方程x=t32個實根;

當(dāng)a>a0時,方程x=t33個實根.

綜上,當(dāng)4<a<a0時,函數(shù)y=f的零點個數(shù)為7;

當(dāng)a=a0時,函數(shù)y=f的零點個數(shù)為8;

當(dāng)a>a0時,函數(shù)y=f的零點個數(shù)為9.

練習(xí)冊系列答案
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滿意

不滿意

30

20

40

10

0.100

0.050

0.010

2.706

3.841

6.635

A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計值為

B.調(diào)研結(jié)果顯示,該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意

C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異

D.有99%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異

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(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:為定值.

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【題目】如圖,在三棱錐中,,OAC的中點.

1)證明:平面ABC;

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1)求的值;

2)估計這100名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

3)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績低于80分為非優(yōu)秀.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】下列結(jié)論中正確的個數(shù)是( ).

①在中,若,則是等腰三角形;

②在中,若 ,則

③兩個向量,共線的充要條件是存在實數(shù),使

④等差數(shù)列的前項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).

A.0B.1C.2D.3

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1)當(dāng)時,證明:在區(qū)間上是增函數(shù);

2)當(dāng),函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由;

3)求函數(shù)的對稱中心,并說明理由.

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