Question

已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1．則函數(shù)g（x）=log₆|x|-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、6個(gè)
• B、8個(gè)
• C、10個(gè)
• D、12個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性畫(huà)出圖象，進(jìn)而即可得到答案．

解答： 解：①設(shè)x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=x+1．
∵f（x）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
因此可以先畫(huà)出y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，
根據(jù)周期性即可畫(huà)出整個(gè)定義域內(nèi)的圖象．
②畫(huà)出y=h（x）=log₆（|x|+1）=log₆（x+1）在[0，+∞）上的圖象，
根據(jù)其奇偶性即可畫(huà)出（-∞，0）上的圖象．
由圖象可以看出：函數(shù)f（x）的值域是[0，1]；
當(dāng)x=±5時(shí)，y=1，即x∈[-5，5]時(shí)，y∈[0，1]，
當(dāng)x＞5時(shí)，y＞1．
由圖象和上面的分析可知：
函數(shù)y=f（x） 與y=h（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上有且僅有10個(gè)交點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=log₆|x|-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是10．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性及畫(huà)出圖象是解題的關(guān)鍵．