B=
π
3
邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D.若θ∈[
π
3
3
]
,M,N分別為AC,BD的中點(diǎn),則下列說(shuō)法中正確的有
 

①AC⊥MN   ②DM與平面ABC所成角為θ   ③線段MN的最大值是
3
4
,最小值是
3
4
    ④當(dāng)時(shí)θ=
π
2
時(shí),BC與AD所成角等于
π
2
分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)以及翻折后一些量之間的關(guān)系可得①正確;由題意可得∠BMD=θ,并且得到∠BMD為DM與平面ABC所成角,所以②正確;根據(jù)題意折后兩條對(duì)角線AC、BD之間的距離為NM的長(zhǎng),再根據(jù)解三角形的有關(guān)知識(shí)可得答案③正確;根據(jù)條件可得:BC⊥平面ACD,這與BM⊥平面ACD相矛盾,所以④錯(cuò)誤.
解答:解:翻折后如圖所示:
精英家教網(wǎng)
因?yàn)锽M⊥AC,DM⊥AC,所以AC⊥平面BMD,所以AC⊥MN.
所以①正確.
因?yàn)锳C⊥平面BMD,
所以AC⊥BM,AC⊥DM,并且平面BMD⊥平面ABC,
所以∠BMD=θ,∠BMD為DM與平面ABC所成角,
所以DM與平面ABC所成角為θ.
所以②正確.
又因?yàn)锽M=DM,
所以MN⊥BD.
所以折后兩條對(duì)角線AC、BD之間的距離為NM的長(zhǎng),
在△BMD中,∠BMD=θ,BM=DM=
3
2

當(dāng)θ=
3
時(shí),MN的最小值為
3
4
,
當(dāng)θ=
π
3
時(shí),MN的最大值為
3
4

所以③正確.
因?yàn)楫?dāng)θ=
π
2
時(shí),則有∠BMD=90°,
所以BM⊥平面ACD,MD⊥平面ABC,
所以MD⊥BC.
若BC與AD所成角等于
π
2
,即BC⊥AD,
所以BC⊥平面ACD,
這與BM⊥平面ACD相矛盾.
所以④錯(cuò)誤.
故答案為①②③.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二面角、線面角問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般先作出空間角,再通過(guò)解三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,本題并且也考查了異面直線的夾角與距離問(wèn)題,此題屬于中檔題型.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得點(diǎn)A到點(diǎn)A′的位置,且A′C=1,則折起后二面角A′-DC-B的大小( 。
A、arctan
2
2
B、
π
4
C、arctan
2
D、
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•涼山州二模)圖1是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠DAB=60°,現(xiàn)沿BD將△ABD翻折起,得四面體A′-BDC(圖2),若二面角A′-BD-C的平面角為α(0<a<π),給出以下四個(gè)命題:
①BD⊥A'C;
②A'C的長(zhǎng)的范圍是(0,
3
);
③當(dāng)A'B⊥DC時(shí),則cosα=
1
3

④當(dāng)四面體A'-BDC體積最大時(shí),A'-BDC的外接球的表面積是
3

其中真命題的個(gè)數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折成120°的二面角,則B、D在四面體A-BCD的外接球球面上的距離為
2
π
3
2
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012年廣東省高二12月月考理科數(shù)學(xué) 題型:選擇題

將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角,若點(diǎn)P滿足

A.3/2                       B.2

C.                D.9/4

 

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