Question

10．證明二項(xiàng)式定理（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b+C_n²a^n-2b²+…+C_n^ra^n-rb^r+…+C_nⁿbⁿ，n∈N^*．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法及其組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二項(xiàng)式定理即可證明．

解答 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a+b，右邊=$C_1^0a{b^0}+C_1^1{a^0}b=a+b$，所以結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（a+b）^k+1=（a+b）^k（a+b）
=$（{C_k^0{a^k}+C_k^1{a^{k-1}}b+C_k^2{a^{k-2}}{b^2}+…+C_k^r{a^{k-r}}{b^r}+…+C_k^k{b^k}}）（a+b）$
=$（{C_k^0{a^k}+C_k^1{a^{k-1}}b+C_k^2{a^{k-2}}{b^2}+…+C_k^r{a^{k-r}}{b^r}+…+C_k^k{b^k}}）（a+b）$
=$（{C_k^0{a^{k+1}}+C_k^1{a^k}b+C_k^2{a^{k-1}}{b^2}+…+C_k^r{a^{k+1-r}}{b^r}+…+C_k^ka{b^k}}）$$+（{C_k^0{a^k}b+C_k^1{a^{k-1}}{b^2}+C_k^2{a^{k-2}}{b^3}+…+C_k^r{a^{k-r}}{b^{r+1}}+…+C_k^k{b^{k+1}}}）$
=$C_k^0{a^{k+1}}+（C_k^0+C_k^1）{a^k}b+（C_k^1+C_k^2）{a^{k-1}}{b^2}+…+（C_k^{r-1}+C_k^r）{a^{k+1-r}}{b^r}$$+…+（C_k^{k-1}+C_k^k）a{b^k}+C_k^k{b^{k+1}}$（7分）
=$C_{k+1}^0{a^{k+1}}+C_{k+1}^1{a^k}b+…+C_{k+1}^r{a^{k+1-r}}{b^r}+…+C_{k+1}^ka{b^k}+C_{k+1}^{k+1}{b^{k+1}}$=（a+b）^k+1
所以，結(jié)論對(duì)n=k+1時(shí)也成立．
由①②得，原命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法及其組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二項(xiàng)式定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．