Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O圓周上異于A，B的一點，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，連結(jié)PA，PB，PC，PD．
（1）求證：平面PBC⊥平面PAD；
（2）若PA=1，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）證明PB⊥平面PAD，即可證明平面PBC⊥平面PAD；
（2）若PA=1，在平面PAB內(nèi)過P作PE⊥AB于E，證明PE⊥平面ABCD，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB?⊙O所在的平面PAB，
∴AD⊥PB，
∵PA⊥PB，PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD，
∵PB?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAD；
（2）解：在平面PAB內(nèi)過P作PE⊥AB于E，
∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE?⊙O所在的平面PAB，
∴AD⊥PE，
∵AD∩AB=A，
∴PE⊥平面ABCD，
直角△PAB中，AB=2，PA=1，
∴PB=$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查四棱錐P-ABCD的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．