Question

9．如圖，AB時(shí)圓O的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，PA=AB，∠ABC大小為θ，點(diǎn)D、E分別在棱PB，PC上．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由；
（3）如圖，過點(diǎn)A作平面α分別交PB、PC于M、N，且PB⊥平面α，sinθ為何值時(shí)，△AMN的面積S有最大值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面PAC；
（2）根據(jù)直二面角的定義，進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，建立三角函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵PA垂直圓所在的平面，∴PA⊥BC，
∵AB時(shí)圓O的直徑，
∴BC⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC；
（2）存在點(diǎn)E，當(dāng)DE∥BC時(shí)，使得二面角A-DE-P為直二面角
若DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC．
這時(shí)，∠AEP=90°，
故存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P是直二面角．

（3）不妨設(shè)PB=2a，則PA=PB=$\sqrt{2}$a，
則由$\left.\begin{array}{l}{PB⊥面AMN}\\{AM?面AMN}\end{array}\right\}$⇒AM⊥PB，
在△PAB中，AP=PB，則AM=MB=a，
又PB⊥面AMN，AN?面AMN，∴AN⊥PB，
BC⊥面PAC，AN?面AMN，∴AN⊥BC，
∵BC∩PB=B，
∴AN⊥面PAC，
∵M(jìn)N?面AMN，
∴AN⊥MN，
則△AMN直角三角形，
又斜邊AM=a為定長，AM²=AN²+MN²≥2AN•MN，
于是S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•MN≤$\frac{A{N}^{2}+M{N}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時(shí)，面積最大，
此時(shí)AN=MN=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，在直角三角形PAC中，得PA=$\sqrt{2}$a，AN=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，AC=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，
直角三角形PAC中，得AB=$\sqrt{2}$a，AC=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，
∴sinθ=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，△AMN的面積S有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面垂直的判斷，以及線面垂直以及二面角的應(yīng)用，利用定義法結(jié)合相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．