Question

3．已知函數f（x）=e^x（其中e為自然對數的底數），g（x）=$\frac{n}{2}$x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=-$\frac{15}{2}$，n∈N^*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數n．[注意：7＜e²＜$\frac{15}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）T（x）=f（x）g（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；求導T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；從而確定函數的最大值；
（2）由題意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；從而化為最值問題．

解答 解：（1）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；
故T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；
則當n≥-2時，T′（x）≥0；
故T（x）在[0，1]上的最大值為T（1）=e；
當n＜-2時，x∈[0，-$\frac{2}{n}$）時，T′（x）＞0；x∈（-$\frac{2}{n}$，1]時，T′（x）＜0；
T（x）在[0，1]上的最大值為T（-$\frac{2}{n}$）=-$\frac{n}{2}$${e}^{-\frac{2}{n}}$；
（2）由題意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；
故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為
F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；F′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$；
故F（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上是減函數，在（ln$\frac{n}{2}$，+∞）上是增函數；
故可化為F（ln$\frac{n}{2}$）＞0；即$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞0；
令G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$；故G′（n）=-$\frac{1}{2}$（ln$\frac{n}{2}$+1）＜0；
故G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$是[1，+∞）上的減函數，
而G（2e²）=-e²+$\frac{15}{2}$＞0；G（14）=7（1-ln7）+$\frac{15}{2}$＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+$\frac{15}{2}$＜0；故最大正整數n為14．

點評 本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．