Question

14．不定方程x+y+z=12的非負整數(shù)解的個數(shù)為91．

Answer 1

分析 法1：利用已知條件方程x+y+z=12的非負整數(shù)解，得出x，y，z的取值范圍，列出所有的可能即可．
法2：利用插板法分成三組，利用組合進行求解．

解答 解：根據(jù)已知條件
∵x+y+z=12，且x、y、z∈N，
∴0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤12，當x，y確定后z值也確定，其中z=12-x-y
列出所有的可能：
當x=0時，y+z=12，則y可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13種情況；
當x=1時，y+z=11，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12種情況；
當x=2時，y+z=10，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共，11種情況；
當x=3時，y+z=9，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共，10種情況；
當x=4時，y+z=8，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9種情況；
當x=5時，y+z=7，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，共8種情況；
當x=6時，y+z=6，y可以，0，1，2，3，4，5，6，共7種情況；
當x=7時，y+z=5，y可以，0，1，2，3，4，5，共6種情況；
當x=8時，y+z=4，y可以，0，1，2，3，4共5種情況；
當x=9時，y+z=3，y可以，0，1，2，3，共4種情況；
當x=10時，y+z=2，y可以，0，1，2，共3種情況；
當x=11時，y+z=1，y可以，0，1，共2種情況；
當x=12時，y+z=0，y可以，0，共1種情況；
所以共有13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=91組．
方法2：插板法，將12看成12個1，12個1中間有14個空，從14個空中選兩個進行插板，
插板之間1的個數(shù)即為該數(shù)對應的數(shù)值，
則共有C${\;}_{14}^{2}$=$\frac{14×13}{2}$=91，
△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△，
比如隔板插個如圖所示△1△1△1↑1△1△1↑1△1△1△1△1△1△，
此時第一組x=3，第二組y=3，第三組z=6
故答案為：91．

點評 本題主要考查三元一次方程根的個數(shù)的求解，利用列舉法或插板法分成三組是解決本題的關鍵．其中使用插板法比較簡單．