Question

12．已知函數(shù)y=f（x），若對(duì)于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）具有性質(zhì)P，
（1）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且f（4）=8，則f（1）=2；
（2）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且在（1，2]上的解析式為y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)性質(zhì)P的條件，利用方程關(guān)系進(jìn)行遞推即可．
（2）根據(jù)性質(zhì)P的條件，分別求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義解方程即可．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x），具有性質(zhì)P，
所以對(duì)于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，
所以f（4）=f（2×2）=2f（2）=2f（2×1）=4f（1）=8，
所以f（1）=2．
（2）若函數(shù)y=f（x）具有性質(zhì)P，且在（1，2]上的解析式為y=cosx，
由y=cosx=0，則x=$\frac{π}{2}$，
由f（2x）=2f（x）得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$），
若2＜x≤4，則1＜$\frac{x}{2}$≤2，則f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$，
則函數(shù)f（x）在（2，4]上的解析式為y=2cos$\frac{x}{2}$，
由2cos$\frac{x}{2}$=0，得x=π，
若4＜x≤8，則2＜$\frac{x}{2}$≤4，則f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=4cos$\frac{x}{4}$，
在（4，8]上的解析式為y=4cos$\frac{x}{4}$，
由y=4cos$\frac{x}{4}$=0得x=2π，
所以y=f（x）在（1，8]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，分別是$\frac{π}{2}$，π，2π．
故y=f（x）在（1，8]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：2，3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用定義進(jìn)行遞推以及求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．