Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣a）2lnx（a為常數）．
（1）若f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直．
（�。┣髮崝礱的值；
（ⅱ）若a非正，比較f（x）與x（x﹣1）的大小；
（2）如果0＜a＜1，判斷f（x）在（a，1）上是否有極值，若有極值是極大值還是極小值？若無極值，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（�。ゝ（x）定義域是（0，+∞），f′（x）=（x﹣a）（2lnx+ ），

∵直線2x+2y﹣3=0的斜率為：k=﹣1，

∴f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率﹣ =1，

即f′（1）=（1﹣a）（2ln1+ ）=（1﹣a）2=1，

∴a=0或a=2；

（ⅱ）由（�。┲�，a=0，∴f（x）=x2lnx，

∵x2lnx﹣x（x﹣1）=x（xlnx﹣x+1），

∴令g（x）=xlnx﹣x+1，g′（x）=lnx，

當x＞1時，g′（x）＞0，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，

g（x）min=g（1）=0，∴g（x）≥0恒成立，

即f（x）≥x（x﹣1）；

（2）解：f′（x）=（x﹣a）（2lnx+ ），

令F（x）=2lnx+1﹣ ，F′（x）= ＞0，

∴F（x）在（a，1）上單調遞增，又F（1）=1﹣a＞0，F（a）=2lna＜0，

所以在（a，1）上必存在x0，使F（x0）=0，

又x﹣a＞0，∴當x∈（a，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，1），f′（x）＞0，

∴f（x）在（a，x0）單調遞減，在（x0，1）單調遞增，

∴x=x0是f（x）的極值點，且為極小值．

【解析】（1）（i）求出f（x）的導數，根據切線的斜率是f′（1）=﹣ =1，解出a的值即可；（ii）求出f（x）的表達式，作差，得到x2lnx﹣x（x﹣1）=x（xlnx﹣x+1），令g（x）=xlnx﹣x+1，根據函數的單調性求出g（x）的最小值g（1）=0，得到g（x）≥0恒成立，從而求出f（x）與x（x﹣1）的大小即可；（2）求出f′（x）=（x﹣a）（2lnx+ ），令F（x）=2lnx+1﹣ ，求出F（x）的導數，根據函數的單調性求出函數的極值即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．