【題目】已知函數(shù)， （， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）試討論函數(shù)的極值情況；

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，總有.

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內(nèi)的所有根；判斷的根左右兩側(cè)值的符號(hào)即可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)， ，研究函數(shù)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，可證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)， ，即可得結(jié)果.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，

.

①當(dāng)時(shí)， ，故在內(nèi)單調(diào)遞減， 無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無(wú)極小值.

（2）證法一：當(dāng)時(shí)， .

設(shè)函數(shù) ，

則.記，

則.

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)， .

即當(dāng)且時(shí)， .

所以當(dāng)且時(shí)，總有.

證法二：當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>且，故只需證.

當(dāng)時(shí)， 成立；

當(dāng)時(shí)， ，即證.

令，則由，得.

在內(nèi)， ；

在內(nèi)， ，

所以.

故當(dāng)時(shí)， 成立.

綜上得原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若用代換曲線的普通方程中的得到曲線的方程，若分別是曲線和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某測(cè)試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取名駕駛員先后在無(wú)酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測(cè)試，測(cè)試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離），無(wú)酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表

停車距離（米）

頻數(shù)

26

8

2

表

/tr>

平均每毫升血液酒精含量 毫克

10

30

50

70

90

平均停車距離米

30

50

60

70

90

已知表 數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為，回答以下問(wèn)題.

(Ⅰ)求的值，并估計(jì)駕駛員無(wú)酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)最小二乘法，由表的數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)于的回歸方程；

（Ⅲ）該測(cè)試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”大于（Ⅰ）中無(wú)酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.請(qǐng)根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程,預(yù)測(cè)當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？

（附：回歸方程中， ）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）2lnx（a為常數(shù)）．
（1）若f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直．
（�。┣髮�(shí)數(shù)a的值；
（ⅱ）若a非正，比較f（x）與x（x﹣1）的大��；
（2）如果0＜a＜1，判斷f（x）在（a，1）上是否有極值，若有極值是極大值還是極小值？若無(wú)極值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知映射f：A→B，其中A=B=R，對(duì)應(yīng)法則f：x→y=（ ） ，若對(duì)實(shí)數(shù)m∈B，在集合A中存在元素與之對(duì)應(yīng)，則m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，2]
B.[2，+∞）
C.（2，+∞）
D.（0，2]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上， 垂直與圓所在平面， 為的垂心.

（1）求證：平面平面；

（2）若，點(diǎn)在線段上，且，求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在圖象上，且的最小值為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現(xiàn)將邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．記邊AB所在直線的斜率為k，0≤k≤ ．求：當(dāng)|BC|取最大值時(shí)，邊AB所在直線的斜率的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案