【題目】已知函數(shù), (, 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)試討論函數(shù)的極值情況;
(2)證明:當且時,總有.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)求定義域內(nèi)的所有根;判斷的根左右兩側(cè)值的符號即可得結(jié)果;(2)當時, ,研究函數(shù)的單調(diào)性,兩次求導,可證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),進而可得當時, ,即可得結(jié)果.
試題解析:(1)的定義域為,
.
①當時, ,故在內(nèi)單調(diào)遞減, 無極值;
②當時,令,得;令,得.
故在處取得極大值,且極大值為, 無極小值.
(2)證法一:當時, .
設(shè)函數(shù) ,
則.記,
則.
當變化時, , 的變化情況如下表:
由上表可知,
而 ,
由,知,
所以,
所以,即.
所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以當時, .
即當且時, .
所以當且時,總有.
證法二:當時, .
因為且,故只需證.
當時, 成立;
當時, ,即證.
令,則由,得.
在內(nèi), ;
在內(nèi), ,
所以.
故當時, 成立.
綜上得原不等式成立.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為: (為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標方程與曲線的普通方程;
(2)若用代換曲線的普通方程中的得到曲線的方程,若分別是曲線和曲線上的動點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響,隨機選取名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試,測試的方案:電腦模擬駕駛,以某速度勻速行駛,記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離),無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于表
停車距離(米) | |||||
頻數(shù) | 26 | 8 | 2 |
表
平均每毫升血液酒精含量 毫克 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | /tr>
平均停車距離米 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表 數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為,回答以下問題.
(Ⅰ)求的值,并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)最小二乘法,由表的數(shù)據(jù)計算關(guān)于的回歸方程;
(Ⅲ)該測試團隊認為:駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”大于(Ⅰ)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的倍,則認定駕駛員是“醉駕”.請根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程,預測當每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”?
(附:回歸方程中, )
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx(a為常數(shù)).
(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直.
(ⅰ)求實數(shù)a的值;
(ⅱ)若a非正,比較f(x)與x(x﹣1)的大;
(2)如果0<a<1,判斷f(x)在(a,1)上是否有極值,若有極值是極大值還是極小值?若無極值,請說明理由.
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【題目】已知映射f:A→B,其中A=B=R,對應(yīng)法則f:x→y=( ) ,若對實數(shù)m∈B,在集合A中存在元素與之對應(yīng),則m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,2]
B.[2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0,2]
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【題目】已知函數(shù)(),數(shù)列的前項和為,點在圖象上,且的最小值為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,求證: .
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【題目】在平面直角坐標系中,兩點P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.現(xiàn)將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置,其中頂點A與坐標原點重合.記邊AB所在直線的斜率為k,0≤k≤ .求:當|BC|取最大值時,邊AB所在直線的斜率的值.
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【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)= .
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.
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