Question

已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的定義域均為{x|-2≤x≤2}，其圖象如圖所示：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f[g（x）]有且僅有6個(gè)零點(diǎn)；  
②函數(shù)y=g[f（x）]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f[f（x）]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)；  
④函數(shù)y=g[f（x）]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，其中正確的命題是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：通過f（x）=0可知函數(shù)有三個(gè)解，g（x）=0有2個(gè)解，具體分析 ①②③④推出正確結(jié)論．

解答：解：由圖象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于滿足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三個(gè)不同值，由于每個(gè)值g（x）對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值，
故滿足f[g（x）]=0的x值有6個(gè)，即方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根，故①正確．
②由于滿足方程g[f（x）]=0的f（x）有2個(gè)不同的值，從圖中可知，每一個(gè)值f（x），
可能對(duì)應(yīng)有1，2，或3個(gè)x值，故滿足方程g[f（x）]=0的x值可能有2，4，或6個(gè)，故②不正確．
③由于滿足方程f[f（x）]=0的f（x）有3個(gè)不同的值，從圖中可知，一個(gè)f（x）等于0，
一個(gè)f（x）∈（-2，-1），一個(gè)f（x）∈（1，2）．
而當(dāng)f（x）=0對(duì)應(yīng)了3個(gè)不同的x值；當(dāng)f（x）∈（-2，-1）時(shí)，只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值；
當(dāng)f（x）∈（1，2）時(shí)，也只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值．
故滿足方程f[f（x）]=0的x值共有5個(gè)，故③正確．
④由于滿足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2個(gè)，而結(jié)合圖象可得，每個(gè)g（x）值對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的x值，
故滿足方程g[g（x）]=0 的x值有4個(gè)，即方程g[g（x）]=0有且僅有4個(gè)根，故④正確．
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力及識(shí)別圖象的能力，是中檔題．