Question

已知橢圓的方程為，點的坐標滿足過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求：

（1）點的軌跡方程；
（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）
當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）
同理，當b=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）
當且，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）

（1）設(shè)點、的坐標分別為、，點的坐標為．當時，設(shè)直線的斜率為，則的方程為
由已知         （1）
（2）
由（1）得
， （3）
由（2）得
，             （4）
由（3）、（4）及，，，
得點Q的坐標滿足方程
                     （5）
當時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）顯然點Q的坐標滿足方程（5）
綜上所述，點Q的坐標滿足方程

設(shè)方程（5）所表示的曲線為L，
則由
得
因為，由已知，
所以當時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）
當時，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點
因為（0，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi)
故點Q的軌跡方程為
（2）由 解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）
由 解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）
當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）
當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）
同理，當b=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）
當且，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）