【題目】南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)用一張長2 m,寬1.5 m的長方形牛皮紙ABCD裁剪風(fēng)箏面,裁剪方法如下:分別在邊AB,AD上取點E,F,將三角形AEF沿直線EF翻折到處,點落在牛皮紙上,沿,裁剪并展開,得到風(fēng)箏面,如圖1.
(1)若點E恰好與點B重合,且點在BD上,如圖2,求風(fēng)箏面的面積;
(2)當(dāng)風(fēng)箏面的面積為時,求點到AB距離的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)建立直角坐標(biāo)系,求得直線的方程為,利用點F到AB與BD的距離相等列方程可得:,求得,問題得解。
(2)建立直角坐標(biāo)系,設(shè),,,求得直線的方程為,利用點與關(guān)于直線對稱可得:,利用四邊形的面積為可得,整理得:,利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為,即可求得的最大值為,問題得解。
(1)方法一:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
則,,
直線的方程為.設(shè)(),因為點F到AB與BD的距離相等,
所以,解得或(舍去). 所以△ABF的面積為,
所以四邊形的面積為.所以風(fēng)箏面的面積為.
方法二:設(shè),則.在直角△ABD中,,
所以,解得或(舍去). 所以.
所以△ABF的面積為,所以四邊形的面積為.
所以風(fēng)箏面的面積為.
(2)方法一:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
設(shè),,,
則直線的方程為,因為點A與關(guān)于直線對稱,
所以解得.
因為四邊形的面積為,所以, 所以.
因為,,所以.
設(shè),.,
令,得或(舍去).列表如下:
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
當(dāng)時,取得極小值,即最小值,
所以的最大值為,所以點到AB距離的最大值為。
方法二:設(shè),,則.因為四邊形的面積為,所以,
即,所以.過點作AB的垂線,垂足為T,
則 .
因為,,所以.
(下同方法一)
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【題目】已知△ABC的三邊BC,CA,AB的中點分別是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的邊AB所在直線的方程及點A的坐標(biāo);
(2)求△ABC的外接圓的方程.
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【題目】某大型超市公司計劃在市新城區(qū)開設(shè)分店,為確定在新城區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得到下列信息(其中表示在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),表示這個分店的年收入之和):
分店個數(shù)(個) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年收入(萬元) | 250 | 300 | 400 | 450 | 600 |
(Ⅰ)該公司經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,求關(guān)于的回歸方程;
(Ⅱ)假設(shè)該公司每年在新城區(qū)獲得的總利潤(單位:萬元)與,之間的關(guān)系為,請根據(jù)(Ⅰ)中的線性回歸方程,估算該公司在新城區(qū)開設(shè)多少個分店時,才能使新城區(qū)每年每個分店的平均利潤最大.
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為: ,.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若直線與函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)的值;
(2)若存在,,使,且,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,求證:.
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【題目】對以下命題:
①隨機(jī)事件的概率與頻率一樣,與試驗重復(fù)的次數(shù)有關(guān);
②拋擲兩枚均勻硬幣一次,出現(xiàn)一正一反的概率是;
③若一種彩票買一張中獎的概率是,則買這種彩票一千張就會中獎;
④“姚明投籃一次,求投中的概率”屬于古典概型概率問題.
其中正確的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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【題目】如圖所示,已知點是拋物線上一定點,直線的傾斜角互補(bǔ),且與拋物線另交于,兩個不同的點.
(1)求點到其準(zhǔn)線的距離;
(2)求證:直線的斜率為定值.
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【題目】為響應(yīng)低碳綠色出行,某市推出“新能源分時租賃汽車”,其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費得標(biāo)準(zhǔn)由以下兩部分組成:(1)根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;(2)當(dāng)租車時間不超過40分鐘時,按0.12元/分鐘計費;當(dāng)租車時間超過40分鐘時,超出的部分按0.20元/分鐘計費;(3)租車時間不足1分鐘,按1分鐘計算.已知張先生從家里到公司的距離為15公里,每天租用該款汽車上下班各一次,且每次租車時間t20,60(單位:分鐘).由于堵車,紅綠燈等因素,每次路上租車時間t是一個隨即變量.現(xiàn)統(tǒng)計了他50次路上租車時間,整理后得到下表:
租車時間t(分鐘) | [20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
頻數(shù) | 2 | 18 | 20 | 10 |
將上述租車時間的頻率視為概率.
(1)寫出張先生一次租車費用y(元)與租車時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)公司規(guī)定,員工上下班可以免費乘坐公司接送車,若不乘坐公司接送車的每月(按22天計算)給800元車補(bǔ).從經(jīng)濟(jì)收入的角度分析,張先生上下班應(yīng)該選擇公司接送車,還是租用該款新能源汽車?
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【題目】為了了解居民消費情況,某地區(qū)調(diào)查了10000戶小家庭的日常生活平均月消費金額,根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本頻率分布直方圖,如圖所示,每戶小家庭的平均月消費金額均不超過9千元,其中第六組第七組第八組尚未繪制完成,但是已知這三組的頻率依次成等差數(shù)列,且第六組戶數(shù)比第七組多500戶,
(1)求第六組第七組第八組的戶數(shù),并補(bǔ)畫圖中所缺三組的直方圖;
(2)若定義月消費在3千元以下的小家庭為4類家庭,定義月消費在3千元至6千無的小家庭為B類家庭,定義月消費6千元以上的小家庭為C類家庭,現(xiàn)從這10000戶家庭中按分層抽樣的方法抽取80戶家庭召開座談會,間A,B,C各層抽取的戶數(shù)分別是多少?
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