Question

已知f（x）是單調(diào)減函數(shù)，若將方程f（x）=x與f（x）=f^-1（x）的解分別稱為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)．則x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”是“x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)”的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】分析：欲判斷”x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”是“x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)”的什么條件，只須從兩個(gè)方面考慮：一方面：若x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，看能不能推出“x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)“；另一方面：”x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)“能不能推出“x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)“．
解答：解：一方面：若x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，
則f（x）=x，即函數(shù)y=f（x）與直線y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
因?yàn)樵�函�?shù)與反函數(shù)的圖象一定要關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
故反函數(shù)的圖象一定要過函數(shù)y=f（x）與直線y=x的橫坐標(biāo)為x交點(diǎn)，
即f（x）=f^-1（x）的解是x，
故”x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)⇒“x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)“；
另一方面：x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)，
即f（x）=f^-1（x），即函數(shù)y=f（x）與y=f^-1（x）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
因?yàn)樵�函�?shù)與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上，
故原函數(shù)的圖象不一定要過函數(shù)y=f（x）與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，
即x不一定是方程f（x）=f^-1（x）的解
故”x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)“不能⇒”x是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)“
則x“是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”是“x是f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)”的“充分不必要條件．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了充要條件及互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系，本題容易錯(cuò)在：”原函數(shù)與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)一定在y=x上“，原函數(shù)與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)不一定在y=x上，如果交點(diǎn)只有1個(gè)：那么一定在Y=X上，因?yàn)樵�函�?shù)與反函數(shù)的圖象一定要對(duì)稱，如果交點(diǎn)有2個(gè)：那么原函數(shù)與反函數(shù)的圖象完全可以在直線y=x兩側(cè)，這樣也原函數(shù)與反函數(shù)的圖象也是對(duì)稱的．