Question

函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
①已知f（x）是單調(diào)減函數(shù)，求不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0的解；
②已知f（x）在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)，證明：f（x）是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析：①先利用奇偶性化簡成f（1-a）＜f（a²-1），再利用單調(diào)性建立不等關(guān)系，根據(jù)定義域的范圍建立兩個(gè)不等關(guān)系，解不等式組即可．
②設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，只需證明f（x₁）＞f（x₂）．將x₁，x₂的取值分類求證．

解答：解：①f（1-a）＜-f（1-a²）
∴f（1-a）＜f（-1+a²）
∴1＞1-a＞-1+a²＞-1即0＜a＜1                                
②設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，只需證明f（x₁）＞f（x₂）
i當(dāng)0≤x₁＜x₂＜0時(shí)，顯然有f（x₁）＞f（x₂）成立；            
ii當(dāng)-1＜x₁＜x₂≤0時(shí)，有1＞-x₁＞-x₂≥0
∴f（-x₁）＜?（-x₂）∴-f（x₁）＜-f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；                                      
iii當(dāng)-1＜x₁＜0＜x₂＜1時(shí)，有f（x₁）＞f（0）且?（0）＞f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；
綜上，當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜1時(shí)，總有：f（0）＞f（x₂）
即：f（x）是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及單調(diào)性的應(yīng)用，這兩個(gè)性質(zhì)是函數(shù)的重要性質(zhì)．利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解抽象不等式．應(yīng)先將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式．