Question

20．已知直線y=kx+1（k≠0）交拋物線x²=4y于E、F兩點(diǎn)，以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$，則k=±1．

Answer 1

分析 直線y=kx+1（k≠0）代入拋物線x²=4y，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，根據(jù)以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$，建立方程，即可得到所求值．

解答 解：直線y=kx+1（k≠0）代入拋物線x²=4y，可得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2
由拋物線的定義可得，|EF|=y₁+y₂+2=4k²+4．
∵以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$，
∴7+$\frac{1}{4}$（4k²+2）²=（2k²+2）²，
∴k=±1．
故答案為：±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)的運(yùn)用，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．