Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸端點(diǎn)分別為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（I）求橢圓的方程；
（II）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足

MD

•

CD

=0，連結(jié)CM交橢圓于P，證明

OM

•

OP

為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（III）在（II）的條件下，試問在x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使以線段MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題知2b=2c=2

2

，b=c=

2

，a²=b²+c²，即可得出．
（II）由（1）知C（-2，0），D（2，0），可設(shè)l_CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁），由MD⊥CD，可得M（2，4k），與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得P(

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)．再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．
（III）設(shè)Q：（x₀，0）且x₀≠-2．由題知MQ⊥DP，利用

QM

•

DP

=0解出即可．

解答： （I）解：由題知2b=2c=2

2

，
∴b=c=

2

，a²=b²+c²=4，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）證明：由（1）知C（-2，0），D（2，0），
可設(shè)l_CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁），
∵M(jìn)D⊥CD，∴M（2，4k），
聯(lián)立

y=k(x+2) x2+2y2=4

，化為（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴-2x₁=

8k2-4

1+2k2

，
∴x₁=

2-4k2

1+2k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+2k2

，即P(

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)．
∴

OM

•

OP

=2•

2-4k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=

4(1+2k2)

1+2k2

=4．
（III）解：設(shè)Q：（x₀，0）且x₀≠-2．
由題知MQ⊥DP，∴

QM

•

DP

=0成立，
由

DP

•

QM

=(2-x0)•

-8k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=0，
化為

8k2

1+2k2

•x0=0，解得x₀=0．
∴存在Q：（0，0）使得以MP為直徑的圓恒過DP、MQ的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．