Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（1）求證a，b，c成等差數(shù)列；
（2）若b=2，當(dāng)角B取最大值時，求△ABC面積S．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，整理后再利用正弦定理化簡，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可得證；
（2）利用基本不等式和余弦定理求出sinB的最大值和ac的值，代入面積公式計算．

解答 （1）證明：∵acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
∴a×$\frac{1+cosC}{2}$+c×$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
∴sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB．
即sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB．
∵sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB．
∴sinA+sinC=2sinB．
∴a+c=2b．
∴a，b，c成等差數(shù)列．
（2）解：a+c=2b=4，∴a²+c²=16-2ac，∴ac≤（$\frac{a+c}{2}$）²=4．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$=$\frac{6}{ac}-1$，
∴當(dāng)ac=4時cosB取得最小值$\frac{1}{2}$，即B取得最大值，此時sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．