Question

7．己知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足b_n+S_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{2}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解（1）：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂、a₃、a₄+1成等比數(shù)列；
∴a₃²=a₂•（a₄+1），
（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+3d+1），
解得d=2，或d=-1，
當(dāng)d=-1時(shí)，a₃=0，不滿足a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列，
∴d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
由S_n+b_n=2，
∴S_n-1+b_n-1=2，
∴2b_n=b_n-1，
∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵S₁+b₁=2，
∴b₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{2}$=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=1×1+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=2-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（2+n），
∴T_n=4-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹（2+n），

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．