Question

【題目】已知圓C過點(diǎn)M（0，﹣2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）問是否存在滿足以下兩個條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C1過原點(diǎn)．若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0

則 解得D=﹣6，E=4，F(xiàn)=4

∴圓C方程為x2+y2﹣6x+4y+4=0

（2）解：設(shè)直線存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點(diǎn)設(shè)為A（x1，y1）、B（x2，y2），

則由 得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）

∴

∴y1y2=（x1+b）（x2+b）= ，

∵AB為直徑，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，

∴

得x1x2+y1y2=0，

∴ ，

即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4

容易驗(yàn)證b=﹣1或b=﹣4時方程（*）有實(shí)根．

故存在這樣的直線l有兩條，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．

【解析】（1）設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用點(diǎn)在圓上，圓心在直線上，列出方程組，解得D，E，F(xiàn)，即可求得圓C方程．（2）設(shè)直線存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點(diǎn)設(shè)為A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），利用直線與圓的方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，推出x1x2 ， y1y2 ， 利用垂直關(guān)系得到 ，求得b=﹣1或b=﹣4時方程（*）有實(shí)根．說明存在這樣的直線l有兩條，即可．