Question

【題目】已知指數(shù)函數(shù)滿足，定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)在上有零點，求的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．

【解析】

試題（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)利用待定系數(shù)法求，利用奇函數(shù)用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理求k的取值范圍；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t恒成立問題，利用分離參數(shù)法求k的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè) ,則，

a=3, ，　

，

因為是奇函數(shù)，所以，即 ,

∴，又，

；

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零點，

從而，即，

∴，　∴，

∴k的取值范圍為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

∴在R上為減函數(shù)（不證明不扣分）．

又因是奇函數(shù)，

所以=，

因為減函數(shù)，由上式得：,

即對一切，有恒成立，

令m(x)=,,易知m(x)在上遞增，所以，

∴，即實數(shù)的取值范圍為．