Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）在x∈[-

1

2

，1）上的最大值為

3

8

，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

．由此列表討論能求出b=0．
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．由已知得a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a≤-1．

解答： 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

．
列表如下：

x	- 1 2	（- 1 2 ，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	f（- 1 2 ）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∵f（-

1

2

）=

3

8

+b，f（

2

3

）=

4

27

+b，
∴f（-

1

2

）＞f（

2

3

），
即最大值為f（-

1

2

）=

3

8

+b=

3

8

，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），求導(dǎo)得，t′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴t_min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想的合理運(yùn)用．