Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）對任意n∈N^*，是否存在正實數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴，解得．
∴
（2）假設存在正實數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即對任意n∈N^*恒成立．
設，
則，
當n≥5時，c_n+1＜c_n，{c_n}為單調遞減數(shù)列；
當1≤n＜5時，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調遞增數(shù)列．
又，
所以當n=5時，c_n取得最大值
所以要使對任意n∈N^*恒成立，
則，
即．
分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）的結論及數(shù)列的單調性即可得出．
點評：熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調性是解題的關鍵．