Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論a=0和a≠0時，f（x）的奇偶性即可；
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，
求出f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)時a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
a=0時，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$為偶函數(shù)；
a≠0時，由于f（-x）=-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f（x）=x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）≠±f（x），
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=a-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
令f′（x）=0，則a-$\frac{2}{{x}^{3}}$=0，
解得x=$\root{3}{\frac{2}{a}}$，
令$\root{3}{\frac{2}{a}}$=2，解得a=$\frac{1}{4}$；
又f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，
實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．