Question

16．已知正三角形的外接圓的圓心位于該正三角形的高的三等分點，且外接圓半徑的長等于高的三分之二，由此類比，棱長為a的正四面體的外接球的半徑的長為$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

Answer 1

分析 平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到類比平面幾何的結論，證明時連接球心與正四面體的四個頂點．把正四面體分成四個高為r的三棱錐，正四面體的體積，就是四個三棱錐的體積的和，求解即可．

解答 解：類比可得：正四面體的外接球的球心位于該正四面體的高的四等分點，
且外接球半徑的長等于高的四分之三，
又可求棱長為a的正四面體的高為$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以棱長為a的正四面體的外接球的半徑的長為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$a

點評 本題主要考查類比推理．類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．