Question

在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，過曲線C：xy=b（b，x＞0）與直線l_n：y=a_nx（a_n≠0，n∈N^*）的交點作C的切線m_n，以O(shè)為圓心，以直線m_n在坐標(biāo)軸上的較長截距為半徑作圓O交曲線C于A_n，B_n兩點，若直線m_n的斜率a_n構(gòu)成數(shù)列{a_n}（n∈N^*）且滿足：①ba_n+1=a²_n②a₁=1．問：
（Ⅰ）記使得∠A_nOB_n的大小不受到參數(shù)b的控制時的a_n=λ（非零常數(shù)），求a_n=λ時∠A_nOB_n的值；
（Ⅱ）證明：∠A_nOB_n不一定隨著n的增大而增大．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）聯(lián)立

xy=b y=anx

，得

x= b an y= ban

，直線m_n：y=-a_nx+2

ban

，設(shè)圓O半徑為r，A_n坐標(biāo)為（x_n，y_n），由對稱性知B_n（y_n，x_n），cos∠A_nOB_n=

2b

r2

，{lna_n-lnb}是公比為2的等比數(shù)列，∠A_nOB_n不受b的影響，且為

π

3

．
（Ⅱ）當(dāng)b＞1時，隨n的增大，cos∠A_nOB_n減小，∠A_nOB_n增大．當(dāng)b＜1時，∠A_nOB_n隨n的增大而增大．當(dāng)b=1時，∠A_nOB_n=

π

3

，不隨n的增大而增大．

解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立

xy=b y=anx

，得

x= b an y= ban

，
∴直線m_n：y=-an(x-

b an

)+

ban

，
即y=-a_nx+2

ban

，
直線m_n與坐標(biāo)軸的交點為（0，2

ban

），（2

b an

，0），
設(shè)圓O半徑為r，A_n坐標(biāo)為（x_n，y_n），
由對稱性知B_n（y_n，x_n），
∴|AnBn|2=2(xn-yn)2=2（x_n²+yn2-2x_ny_n）=2r²-4b，
cos∠A_nOB_n=

OAn2+OBn2-AnBn2

2•OBn•OAn

=

2b

r2

，
由ba_n+1=an2，得lna_n+1+lnb=2lna_n，
∴l(xiāng)na_n+1-lnb=2（lna_n-lnb），
∴{lna_n-lnb}是公比為2的等比數(shù)列，
再由a₁=1，得an=b1-2n-1，
又r²=4ba_n或r2=4•

b

an

，
r2=4b2-2n-1或r2=4b2n-1，
又cos∠A_nOB_n=

23

r2

，
對比知無論何種情況，只有當(dāng)n=1時，
cos∠A_nOB_n=

2b

4b

=

1

2

，
∠A_nOB_n不受b的影響，且為

π

3

．
（Ⅱ）證明：當(dāng)b＞1時，r²=4b^2n-1，
cos∠A_nOB_n=

1

2

b1-2n-1，
隨n的增大，cos∠A_nOB_n減小，∠A_nOB_n增大．
當(dāng)b＜1時，r²=4b 2-2n-1，
cos∠A_nOB_n=

1

2

b2n-1-1，
∠A_nOB_n隨n的增大而增大．
當(dāng)b=1時，r²=4，
cos∠A_nOB_n=

1

2

，∠A_nOB_n=

π

3

，不隨n的增大而增大．
∴∠A_nOB_n不一定隨著n的增大而增大．

點評：本題考查∠A_nOB_n的值的求法，考查∠A_nOB_n不一定隨著n的增大而增大的證明，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．