Question

已知sin（π-θ）+3cos（π+θ）=0，其中θ∈（0，

π

2

）
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求函數f（x）=sin²x+tanθcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,半角的三角函數

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由誘導公式和同角三角函數的基本關系式結合角的范圍即可求sinθ，cosθ的值；
（2）利用同角三角函數的基本關系吧要求的式子化為

13

4

-(cosx-

3

2

)2，再根據二次函數的性質，余弦函數的最值，求得函數y的最大值和最小值，即可得到函數的值域．

解答： 解：（1）∵sin（π-θ）+3cos（π+θ）=0，
∴sinθ-3cosθ=0
∵θ∈（0，

π

2

）
∴

1-cos2θ

=3cosθ，可解得cosθ=

10

10

，sinθ=

1-cos2θ

=

3 10

10

．
（2）∵由（1）可得tanθ=

sinθ

cosθ

=3
∴f（x）=sin²x+tanθcosx=sin²x+3cosx=1-cos²x+3cosx=

13

4

-(cosx-

3

2

)2，
故當cosx=1時，函數y取得最大值為3，當cosx=-1時，函數y取得最小值為-3，
故函數的值域為[-3，3]．

點評：本題主要考查二次函數的性質，余弦函數的最值，同角三角函數的基本關系，屬于中檔題．