Question

函數(shù)f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0），該函數(shù)圖象在點P（x，1-ax²） 處的切線為l，設(shè)切線l 分別交x 軸和y 軸于兩點M和N．
（1）將△MON （O 為坐標原點）的面積S 表示為x 的函數(shù)S（x）；
（2）若在x=1處，S（x）取得最小值，求此時a的值及S（x）的最小值；
（3）若記M點的坐標為M（m，0），函數(shù)y=f（x） 的圖象與x軸交于點T（t，0），則m與t的大小關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)道說的幾何意義可得函數(shù)圖象在點P（x，1-ax²） 處的切線的斜率為f^′（x）=-2ax再由點斜式寫出切線方程然后根據(jù)題意易得M，N的坐標再根據(jù)面積公式即可得解．
（2）在第一問的基礎(chǔ)上可利用判斷出s（x）的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性可得出S（x）的最小值以及取得最小值時a的值．
（3）求出t的值結(jié)合（1）得m=再結(jié)合t的值將m拆成和的形式在利用基本不等式進行放縮即可得解．
解答：解：（1）∵f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0）
∴f^′（x）=-2ax
∴f^′（x）=-2ax
∴函數(shù)圖象在點P（x，1-ax²） 處的切線為y-（1-ax²）=-2ax（x-x）即y=-2axx+1+ax²
∴M（，0），N（0.1+ax²）
∴=

（2）令
則
∴當0＜x＜時s^′（x）＜0則s（x）單調(diào)遞減
  當時s^′（x）＞0則s（x）單調(diào)遞增
∴=1 時，面積最小此時 
（3）由題意知t=
又∵m===
∴m≥t
點評：本題主要考查了導數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是第一問要知道在某一點出切線的斜率即為在這一點處的導數(shù)，而第二問要利用導數(shù)判斷函數(shù)S（x）的單調(diào)性進而求其最小值，第三問關(guān)鍵是將m拆成和的形式在利用基本不等式進行放縮．