Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{x}，a≤x＜0}\\{-{x}^{2}+2x，0≤x≤4}\end{array}\right.$的值域是[-8，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-3]
• B． [-3，0）
• C． [-3，-1]
• D． {-3}

Answer 1

分析 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)的值域剛好為[-8，1]，故只需y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0的值域?yàn)閇-8，1]的子集，可得a的不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：解：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=1，
故函數(shù)在[0，1]單調(diào)遞增，[1，4]單調(diào)遞減，$-（\frac{1}{2}）^{a}≥-8，-（\frac{1}{2}）^{0}≤1$
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最小值-8，
又函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-8，1]，∴y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0的值域?yàn)閇-8，1]的子集，
∵y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0單調(diào)遞增，
∴只需-$-（\frac{1}{2}）^{a}≥-8，…-（\frac{1}{2}）^{0}≤1$，
解得-3≤a＜0
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，涉及分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及集合的運(yùn)算，屬中檔題題．