Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及實(shí)數(shù)t滿足|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3．若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，則t的最大值是$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 由于求t的最大值，即t＞0，運(yùn)用兩邊平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)以及基本不等式，計(jì)算即可得到t的最大值．

解答 解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，
兩邊平方可得（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）²=9，
即為$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²+2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9，
即有$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²=9-4t，
由$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²≥2t|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≥2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4t，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$同向時(shí)，取得等號(hào)．
由9-4t≥4t，解得t≤$\frac{9}{8}$．
即有t的最大值為$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．