Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離；
（2）求二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）在AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得：CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面A₁C₁CA
∴點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離為2（3分）
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
則B（0，2，0）D（0，0，1）A₁（2，0，2）
=（-2，0，-1），=（-2，2，-2），
設(shè)平面A₁DB的法向量為
則即
∴（6分）
而平面ACC₁A₁的法向量為
=
∴二面角B-A₁D-A的大小為（8分）
（3）存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD
設(shè)F（x，0，0），由E（0，1，2）得若EF⊥平面A₁BD，則由得x=1
∴F為AC的中點(diǎn)
∴存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD（12分）
分析：（1）由已知中的三視圖，我們可以判斷直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，則BC⊥平面A₁C₁CA，則BC長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離；
（2）由C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A₁DB的法向量及面ACC₁A₁的法向量后，代入向量夾角公式，即可得到二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）設(shè)F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量，則為平面A₁BD的一個(gè)法向量，由此構(gòu)造方程，求出x值，即可得到F點(diǎn)的位置．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，由三視圖還原實(shí)物圖，及空間點(diǎn)到平面距離的運(yùn)算，（1）的關(guān)鍵是證得BC⊥平面A₁C₁CA，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于x的方程．