Question

7．如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
（1）當點M與A重合時，求圓形保護區(qū)的面積；
（2）若古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m．當OM多長時，點M到直線BC的距離最小？

Answer 1

分析 （1）以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy，當點M與A重合時，求出圓形保護區(qū)半徑，即可求圓形保護區(qū)的面積；
（2）求出保護區(qū)的邊界圓M的半徑，利用$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，可得結論．

解答 解：（1）以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy．
由條件知A（0，60），C（170，0），
直線BC的斜率-$\frac{4}{3}$
又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率$\frac{3}{4}$
設點B的坐標為（a，b），則k_BC=$\frac{a-170}$=-$\frac{4}{3}$，k_AB=$\frac{b-60}{a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=80，b=120
所以圓形保護區(qū)半徑r=AB=$\sqrt{（80-0）^{2}+（120-60）^{2}}$=100
則圓形保護區(qū)面積為10000πm²．（8分）
（2）設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m（0≤d≤60）
由條件知，直線BC的方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-170），即4x+3y-680=0
由于圓M與直線BC相切，故點M（0，d）到直線BC的距離是r
即r=$\frac{680-3d}{5}$
因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，
所以$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，
解得10≤d≤35
則當d=10，即OM=10m時，M到直線BC的距離最�。�（16分）

點評 本題考查圓的切線，考查了直線與圓的位置關系，解答的關鍵在于對題意的理解，是中檔題．