Question

2．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n次和S_n，已知S₁=2，a₇=20，且2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b），n∈N₊，b＞$\frac{3}{2}$＞a．
（1）求a和b的值；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{3•{2}^{n}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1時(shí)，由2（a+b）•a₁=（a₁+a）（a₁+b），S₁=2，可求得b=2；由2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b）⇒n≥2時(shí)，2（a+b）S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b），兩式相減，整理得a_n=2+（n-1）（2+a），再利用a₇=20，
可求得a的值；
（2）由（1）知a_n=3n-1，于是b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，_n=$\frac{1}{2}$+2•${（\frac{1}{2}）}^{2}$+3•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（n-1）${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+n•${（\frac{1}{2}）}^{n}$，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答 解：（1）n=1時(shí)，2（a+b）•a₁=（a₁+a）（a₁+b），
∵a₁=2，∴4（a+b）=（a+2）（2+b），即（a-2）（b-2）=0，
∵b＞$\frac{3}{2}$＞a，∴b=2；
n≥2時(shí)，2（a+b）S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b），
則有${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=（a+b）（a_n+a_n-1）（n≥2），
∵a_n＞0，∴a_n=a_n-1+（a+b）（n≥2）
∴a_n=2+（n-1）（2+a），∵a₇=20，∴a=1．
（2）由（1）a_n=2+3（n-1）=3n-1，
∴b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∵T_n=$\frac{1}{2}$+2•${（\frac{1}{2}）}^{2}$+3•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（n-1）${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+n•${（\frac{1}{2}）}^{n}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=${（\frac{1}{2}）}^{2}$+2•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（n-1）${（\frac{1}{2}）}^{n}$+n•${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+${（\frac{1}{2}）}^{n}$-n•${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$=1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$-n•${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，求得a和b的值是關(guān)鍵，突出錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用，屬于難題．