Question

17．已知圓O的方程為 x²+y²=9，若拋物線C過點A（-1，0），B（1，0），且以圓O的切線為準線，則拋物線C的焦點F的軌跡方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）

Answer 1

分析 設拋物線C的焦點為F（x，y），準線為l，過點A，B，O分別作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分別為垂足，則l為圓的切線，P為切點，通過|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，說明點F的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，求出焦點F的軌跡方程．

解答 解：設拋物線C的焦點為F（x，y），準線為l，
過點A，B，O分別作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，
其中A′，B′，P分別為垂足，則l為圓的切線，P為切點，且|AA′|+BB′||=2|OP|=6．
因為拋物線過點A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，
所以|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，
所以點F的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，
且點F不在x軸上，所以拋物線C的焦點F的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$（y≠0），
故選：D．

點評 本題主要考查了拋物線的定義與橢圓的標準方程，考查了學生數(shù)形結合的思想及計算能力．