Question

6．已知雙曲線x²-y²=1，點F₁，F(xiàn)₂為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若P F₁⊥PF₂，則以F₁，F(xiàn)₂為焦點且經過P的橢圓的離心率等于（　　）

• A． .$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． .$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． .$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． .$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線方程為x²-y²=1，可得焦距，因為PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再結合雙曲線的定義，得到||PF₁|-|PF₂||=2，最后聯(lián)解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，從而得到|PF₁|+|PF₂|的值，即可求出以F₁，F(xiàn)₂為焦點且經過P的橢圓的離心率．

解答 解：∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
又∵P為雙曲線x²-y²=1上一點，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴（|PF₁|-|PF₂|）²=4，
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值為2$\sqrt{3}$，
∴以F₁，F(xiàn)₂為焦點且經過P的橢圓的離心率$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選B．

點評 本題根據(jù)已知雙曲線上對兩個焦點的張角為直角的兩條焦半徑，求它們長度的和、以F₁，F(xiàn)₂為焦點且經過P的橢圓的離心率，著重考查了雙曲線的基本概念與簡單性質，屬于中檔題．